Контакты
Математики часто говорят, что их наука красива. А можно ли привести пример красоты математической конструкции, понятный гуманитарию?

"КРАСОТА В МАТЕМАТИКЕ — это тонкая грань между простотой и сложностью, естественностью и необычностью, загадкой и её решением. Красиво то, что позволяет нам увидеть больше, чем мы видели мгновение назад. Красиво то, что нас удивляет.

Видимо, категория красоты впервые возникла в математике в Древней Греции, с появлением геометрии — чем ещё, кроме эстетического наслаждения, можно объяснить желание изучать совершенно абстрактные картинки, составленные из прямых, отрезков и окружностей? 

Поставьте себя на место первых геометров: практическая значимость большей части ваших изысканий станет понятной лишь спустя много столетий. А сейчас вы просто чертите палочкой на песке треугольники и обнаруживаете удивительную закономерность: какой бы треугольник вы ни построили, сумма его внутренних углов всегда составляет развёрнутый угол (тот, который получается, если стороны угла лежат на одной и той же прямой, но по разные стороны от вершины). 

(Это изображения основаны на построении Andy Talmadge в программе GeoGebra, лицензия CC BY-SA 3.0, geogebra.org) 

Вы чувствуете, что это не может быть случайностью. Должна быть какая-то причина, какое-то объяснение. Но на картинке его нет. Этот факт не даёт вам покоя, вы думаете о нём день и ночь. Наконец — быть может, почти случайно — вы добавляете новый штрих к чертежу с треугольником: проводите прямую, проходящую через одну из его вершин параллельную противоположной стороне. 

Смотрите на рисунок несколько минут... И внезапно замечаете три угла, равных углам вашего треугольника, которые вместе образуют развернутый угол. Вот они, перед вами! 

Теперь понятно, что никак иначе и быть не могло. То, что вчера казалось неразрешимой загадкой, стало очевидным фактом. Как будто туман рассеялся, и вашему мысленному взору открылся удивительный и прекрасный вид. 

Вы смотрите на свой чертёж, состоящий лишь из нескольких отрезков, и понимаете, что это одна из самых красивых картин в вашей жизни. 

Примерно так выглядит математическая красота."

Источник: http://thequestion.ru/questions/48428/matematiki-chasto-govoryat-chto-ih-nauka-krasiva-a-mozhno-li-privesti-primer-krasoty-matematicheskoj-konstrukcii-ponyatnyj-gumanitariyu

Image alt

Описание изображения

Описание изображения

Почему таблицу умножения так трудно выучить?

"На выполнение операций с числами влияют несколько факторов. К ним относятся 

  • ассоциативная память, 
  • распознавание образов, 
  • речь. 

Это три самых мощных и самых полезных особенностей человеческого мозга. 

В 1978 году М.Эшкрафт, после множества экспериментов с молодыми людьми, сделал вывод, единственно правильно согласующийся с экспериментальными данными: решения вычислительных задач отыскивались в однажды запомненной таблице, которая хранится в долговременной памяти. В оперативной памяти ни счета, ни обработки не происходит. 

Теперь вы можете спросить: "Ну и что? Мы сегодня пользуемся тем, что изучали в младших классах. Что же здесь необычного?"  

Такой порядок совершенно неестественен. Дети в дошкольном возрасте используют свои врожденные представления о множественности для развития интуитивных стратегий счета, которые впоследствии помогают им осмыслить и измерить величины большего порядка. Однако, поступая в первый класс, дети переживают неожиданный переход от интуитивного понимания числовых величин и стратегии счета к зубрежке арифметики. Неожиданно "освоение счета" теперь означает сбор и сохранение в памяти большой базы данных числовых знаний, которые необязательно могут иметь смысл. Многие часы занятий дети тратят огромное количество нервной энергии на то, чтобы запомнить таблицу умножения, совершая при этом множество ошибок. 

ПОЧЕМУ ЖЕ ТАБЛИЦУ УМНОЖЕНИЯ ТАК ТРУДНО ЗАПОМНИТЬ? 

1. Обучение таблице умножения противоречит нашим интуитивным представлениям. Обычно мы начинаем с умножения единицы и заканчиваем умножением на 10. Если таблицу заучивать таким способом, то придется выучить 100 (10х10) отдельных случаев. Дети легко запоминают таблицы умножения на один и десять, поскольку они больше соответствуют их интуитивному пониманию числовых схем и десятипальцевой стратегии манипуляции с числами.За вычетом этих двух таблиц остается 64 отдельных случая (умножение каждого из чисел на 2,3,4,5,6,7,8,9 на 2,3,4,5,6,7,8,9). Дети распознают коммутативность сложения к пятилетнему возрасту. Показав им коммутативность умножения (3х8=8х3), можно уменьшить 64 до всего лишь 36 (количество пар идентичных чисел, например, 2х2, сократить не удается). 

2. Человеческий мозг великолепно распознает образы. В нашем сознании воспоминания возникают по ассоциации, то есть одна мысль заставляет вспомнить другую, хранящуюся в долговременной памяти. Кто-то упоминает слона, и ассоциативные поля височных долей мозга порождают в вашем сознании соответствующий образ. Активируются различные места в долговременной памяти, и вы вспоминаете, как мама впервые повела вас в зоопарк. Лимбическая доля мозга сопровождает наши воспоминания эмоциями. Способность мозга распознавать образы и мыслить ассоциативно - это одна из его наиболее сильных сторон, которая часто называется ассоциативной памятью. Ассоциативная память - это мощный инструмент, который позволяет нам устанавливать связи между фрагментарными данными. Она позволяет успешно пользоваться аналогиями и знаниями, обретенными в одной жизненной ситуации, применительно к совершенно новой обстановке.

К сожалению, ассоциативная память перестаёт быть помощником тогда, когда дело касается таких вещей как таблица умножения.

Это происходит потому, что мы запоминаем таблицу речевым способом, и речевые элементы привносят некоторую путаницу. У компьютера нет проблем с определением того, что 6х9=54, 7х8=56, 8х8=64, поскольку каждое выражение являетс отдельным и четко определенном. В человеческом мозгу всё происходит иначе - сильно развитая способность мозга отыскивать во всём образы при произнесении таблицы вслух обнаруживает некий общий ритмический рисунок, мешая рассматривать эти три выражения независимо друг от друга.  В результате образ 6х9 может активировать ряд других образов, включая 445, 54, 56 и 58, и ввести их в нашу оперативную память, затрудняя тем самым выбор правильного ответа.

3. Смешение образов мешает нашей памяти отдельно запоминать результаты сложения и умножения. Например, нам труднее понять, что 2х3=5 является ложным утверждением, чем найти ошибку в том, что 2х3=7, поскольку первый результат является правильным, если проихводить не умножение, а сложение.

Ещё в 1990 г. К.Миллеру удалось экспериментально доказать, что освоению умножения мешает сложение. Он обнаружил, что цченики третьего класса, выучив таблицу умножения, начинают дольше задумываться над примерами на сложение, у них появляются ошибки типа 2+3=6.

4. Исследования мозга показывают, что умножение требует координированной работы нескольких нейронных зон, то есть одновременного выполнения многих когнитивных операций. Следовательно, для выполнения умножения и точных вычислений нам необходимо подключать ментальные цепи, которые возникли для совершенно иных целей.

5.  Мозг решает проблему запоминания таблицы умножения с помощью вербальной памяти, которая представляет собой значительную и надежную часть системы обработки речи. Многие из нас продолжают хранить в вербальной памяти различную информацию, например, стихи и песни, которые мы заучивали много лет назад. Учителя рекомендуют школьникам запоминать таблицу умножения как стихи, декламируя вслух. В результате вычисление оказывается связанным с языком, на котором оно изучается.

ВЫВОД.  В преподавании математики в начальной школе следует учитывать чувство числа, различные стратегии счета. Тогда таблица умножения перестает быть некоторой самоцелью и превращается в средство, способствующее более глубокому пониманию математики.

Я предлагаю использовать в занятиях точки или картинки на карточках, которые позволят школьникам освоить последовательное сложение, лежащее в основе умножения.

Смысл в том, чтобы, используя имеющееся у школьников врожденное чувство образов, построить множительную цепь без запоминания самой таблицы."

Дэвид Соуза "Как мозг осваивает математику Практические советы учителю" М.: Ломоносовъ, 2010.