Паркеты и творчество М.Эшера

 

 

В начале прошлого столетия великий французский архитектор Ле Корбюзье как-то воскликнул: «Всё вокруг геометрия!»  (И.Ф.Шарыгин "К 70-летию со дня рождения")

Особенно много геометрии можно обнаружить под ногами и речь сегодня будет идти о паркетах.

Цель занятия:
•Организация деятельности по изучению и закреплению понятий геометрического паркета, его построения, знакомство с работами Мориса Эшера и его последователей.
•Выработка умений самостоятельного применения знаний.  

Image alt

Мауриц Корнелис Эшер 

Официальный сайт: http://www.mcescher.com/

Повторение узора (параллельный перенос)

 

Для того, чтобы начать разговор о паркетах, сперва следует определиться с методом составления паркетов - параллельным переносом.

1. Возьмите  мозаику, постройте узор из 3-5 фишек и попросите ребёнка сделать узор, многократно повторяющий Вашу фигуру.

2. Подумайте, где в жизни можно увидеть параллельный перенос? Придумайте побольше вариантов.
Даю одну подсказку: цепочка следов на снегу :)

 

Следующие узоры Эшера состоят из фигур, заполняющих всю плоскость без наложений при параллельных переносах:

 

 

Больше картин М.Эшера из цикла "Симметрия" на официальном сайте:
http://www.mcescher.com/gallery/symmetry/

Увлечь ребёнка составлением паркетов можно, например, через составление аппликациий из подобных "птичек":

Паркеты

 

М.Эшер говорил: «Хотя я абсолютно несведущ в точных науках, мне иногда кажется, что я ближе к математикам, чем к моим коллегам-художникам». 

Математик Макгиллвэри из Амстердама написал целую книгу о мозаиках художника. Книга содержит 41 вариант фигурного паркета от Эшера. 

Image alt

Паркет – это орнамент, заполняющий лист бумаги (плоскость) без промежутков. 

М.Эшер интересовался всеми видами мозаик:
•регулярными (регулярное замощение плоскости возможно только тремя правильными многоугольниками: треугольником, квадратом и шестиугольником)
•нерегулярными (нерегулярные мозаики образуют не повторяющиеся узоры)
•Эшер ввёл собственный вид, который назвал "метаморфозами", где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость. 

Изображения всех геометрических фигур, используемых в картинах М.Эшера: квадрат, прямоугольник, параллелограмм, треугольник, ромб и шестиугольник

Так как с помощью круга нельзя построить паркет (круги заполняют плоскость с промежутками), то художник не использовал эту геометрическую фигуру. 

Описание изображения

ПРИМЕР:

Расчертив рисунок параллельными прямыми и получив таким образом сетку квадратов, видим, что паркет получен параллельными переносами квадратов. Если раньше паркет можно было составить из "птичек", то сейчас паркет можно составить из квадратов, содержащих одинаковые фрагменты "птичек".

Рисунки из книги:  
Наглядная геометрия. 5-6 кл.: пособие для общеобразовательных учреждений / И.Ф.Шарыгин, Л.Н.Ерганжиева. – 14 изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2012. – 189, [3] с.: ил.

 

 

М.Эшер всю жизнь мечтал, что его многочисленные мозаики станут украшением полов и стен. Его рисунок для паркета «Ящерицы» («Lizard») был воплощен в форме паркетных досок в испанской компании Arbore, которая специализируется на дизайне полов. Такой пол стал единственным в своем роде. Проект был реализован в одной квартире в Мадриде, где компания Arbore отвечала за оформление полов. Рисунок был существенно упрощен, но любой, даже мельком глянувший на него, сразу узнает фирменный узор в виде ящериц.

(информация и фотографии паркета с сайта http://umods.ru/design/risunok-dlya-parketa-yashchericy-maurica-eshera)

Reptiles. 1943 Lithograph. 385mm x 334mm http://www.mcescher.com/gallery/back-in-holland/reptiles/

 

Напольная мозаика в аквапарке Севастополя 

фотография Ю.И.Антоновой

Трансформации М.Эшера

New Year’s greeting card. 1949 Woodcut. 139mm x 152mm.  http://www.mcescher.com/gallery/back-in-holland/new-years-greeting-card-ii/

Fish and Frogs. 1949 Wood engraving. 71mm x 81mm. http://www.mcescher.com/gallery/back-in-holland/fish-and-frogs/ 

Невозможные конструкции ("Странные петли") М.Эшера

Десять канонов "Музыкального приношения" находятся в числе самых сложных канонов Баха, они намеренно не закончены и являются своего рода головоломками, которые Бах задал королю. 

В "Canon per tonos" ("Тональный канон") мы впервые сталкиваемся с примером "Странных Петель". "Странная Петля" получается каждый раз, когда, двигаясь вверх или вниз по уровням иерархической системы, мы неожиданно оказываемся в исходном пункте.
(В нашем примере это система музыкальных тональностей.) 

Канон сконструирован таким образом, что его кажущийся финал неожиданно плавно переходит в начало; эти последовательные модуляции уводят слушателя во все более далекие тональные "провинции", так что после нескольких из них он чувствует себя уже безнадежно далеко от начальной тональности. Бах, несомненно, упивался возможностью продолжать этот процесс бесконечно. 

Он написал на полях "Пусть Королевская слава возрастает, подобно этой модуляции", чтобы подчеркнуть заложенную в описанном каноне возможность естественного бесконечного движения, "Естественно Растущий Канон".  

Ofrenda Musical Bach BWV1079

Обработка видео...

И.С. Бах - Ричеркар из "Музыкального приношения" BWV 1079

Обработка видео...

Самые яркие и впечатляющие зрительные реализации идеи "Странных Петель" представлены в работах голландского графика М.К.Эшера, жившего с 1898 по 1971 год. 

Эшер был создателем одних из самых интеллектуально стимулирующих рисунков всех времен. Многие из них берут свое начало в парадоксе, иллюзии или двояком значении. Среди первых поклонников графики Эшера оказались математики, это неудивительно, так как его рисунки часто основаны на математических принципах симметрии или структуры. Однако типичный рисунок Эшера представляет из себя нечто гораздо большее, чем только лишь симметрию или определенную структуру часто в его основе лежит некая идея, представленная в художественной форме. 

Странная Петля - одна из наиболее часто повторяющихся в работах Эшера тем. 

Взгляните, например, на литографию «Водопад» и сравните её бесконечно спускающуюся шестиступенчатую Петлю с бесконечно поднимающейся шестиступенчатой Петлей «Тонального канона». Сходство поистине удивительное! Бах и Эшер проводят одну и ту же тему в двух различных «ключах»: музыка и изобразительное искусство. 

 Waterfall. 1961 Lithograph. 300mm x 380mm http://www.mcescher.com/gallery/recognition-success/waterfall/  

В работах Эшера встречаются различные типы Странных Петель: они могут быть расположены по порядку в зависимости от того, как туго они «затянуты». 

«ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда», Даглас Хофштадтер

Последователи Эшера

 

Makoto Nakamura

сайт: http://www.k4.dion.ne.jp/~mnaka/home.index.html

 

Yoshiaki Araki 

сайт:  http://britton.disted.camosun.bc.ca/jbaraki.htm

 


Паркет на сферической поверхности

 

Паркет встречается не только на плоскости. 

Примером паркета на поверхности сферы может являться обычный футбольный мяч. 

В этом случае паркет состоит из 12 пятигранников и 20 шестигранников.
В развернутом виде этот паркет представИм в следующем виде: 

 

Видео по теме: http://www.otr-online.ru/programmi/bolshaya-nauka-velikoe-1727/simmetriya-ornamenti-parket-2945.html

Симметрия, орнаменты, паркет... В математике и в повседневной жизни.

Симметрия, орнаменты, паркет – известные всем понятия. 

Какова их роль в математике и в нашей повседневной жизни? 

Собеседники:Дмитрий СОКОЛОВ, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова 

Владимир ДУБРОВСКИЙ, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики СУНЦ МГУ им. М.В.Ломоносова