Математическое моделирование

«Модель – это заместитель оригинала, позволяющий изучить некоторые его свойства в определенных условиях. При этом следует подчеркнуть, что сходство может быть не по всем характеристикам: форме, цвету, структуре и т.п. Достаточно, чтобы сходство было лишь в тех свойствах, которые являются объектом данного исследования. [...] 1. Арифметика – модель счетно-обменных операций. 2. Радиосхема – модель электронной аппаратуры. 3. Электронная система автоматического управления – модель действий управляющего оператора (в частности, пилота). 4. Глобус – модель земного шара. Моделирование – это процесс выбора или построения модели для исследования определенных свойств оригинала в определенных условиях.

Кубланов М.С. Математическое моделирование. Методология и методы разработки математических моделей механических систем и процессов. Часть I. Моделирование систем и процессов. Издание третье, переработанное и дополненное: Учебное пособие.– М.: МГТУ ГА, 2004, стр. 9-10

Для детей формирование навыков математического моделирования (применения математики при создании описаний явлений материального мира) заключается в следующем: ребёнка учат пользоваться математическим языком (т.е. понимать другие науки, говорящие на языке математического моделирования (физика, экономика и т.д.)), включая в занятия словесные описания заданий, которые заставляют ребенка делать упрощающие предположения.  

Дополнительно о математическом моделировании следует сказать, что оно входит в программу 7-го класса и этой теме предшествуют уравнения и системы уравнений.  

Мы продолжили учиться по учебнику Л.Г.Петерсон 5 класс. Резво начали и случился конфуз: две задачи, зело озадачившие не только ребёнка, но и взрослых мужчин (выпускников МГТУ им. Н.Э.Баумана и СПбГЭТУ «ЛЭТИ»). Вот эти задачи, требующие построить математическую модель:

116. 7) Проехав с некоторой скоростью половину пути, автобус час стоял на месте из-за случившейся на трассе аварии. Чтобы на оставшихся до пункта назначения 200 км наверстать потерянное время, водитель автобуса повёл его со скоростью 10 км/ч большей, чем в начале пути. В конечный пункт автобус прибыл без опоздания. С какой скоростью проехал автобус первую половину пути?

116. 8) Скорый поезд был задержан у семафора на 4/15 часа и нагнал опоздание на перегоне в 80 км, идя со скоростью на 10 км/ч большей, чем полагалось по расписанию. Чему равна скорость поезда по расписанию? 

Среднее арифметическое нам мешает 

Интересно, что эти задачи можно переформулировать и обратить внимание на то, что среднее арифметическое (которое в 5-м классе входит в учебный план) - информативная величина только тогда, когда данные распределены примерно равномерно. Но бывает такое (и в математических задачах) редко. 

Пример из книги  

Кристоф Дрёссер. Обольстить математикой. Числовые игры на все случаи жизни. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015. Стр. 38-39 

Описание изображения

Подобные интуитивные неправильные решения могут быть у задач из книги 

Стивен Строгац. Удовольствие от  x. Увлекательное путешествие в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире. М.: МИФ, 2015. Стр.69-75

Описание изображения

Описание изображения

Описание изображения

Описание изображения

В сборнике задач по алгебре для 6-7 классов семилетней и средней школы / П.А.Ларичев М.: Государственное учебно-педагогическое издательство мин-ва просвещения РСФСР. 1958г. к математическому моделированию подводят издалека:

  • Алгебраические выражения. Уравнения.
  • Запись, чтение, вычисление числового значения алгебраических выражений. 
  • Действия над целыми алгебраическими выражениями (приведение подобных членов, сложение/вычитание/умножение одночленов и многчленов, раскрытие скобок и заключения в скобки). 
  • Разложение многочленов на множители (деление одночленов и многочленов, вынесение множителей за скобку). 
  • Уравнение первой степени с одним неизвестным. Задачи на составление уравнений. 
  • Системы уравнений первой степени. Системы уравнений с двумя/тремя неизвестными. Задачи на составление систем уравнений первой степени.