Ю.А. Данилов. Фрактальность

"Слова «фрактал», «фрактальная размерность», «фрактальность» появились в научной литературе сравнительно недавно и не успели ещё войти в большинство словарей, справочников и энциклопедий. Придумал слово «фрактал» (от латинского «фрактус» —дробный, нецелый) наш современник, математик Бенуа Мандельброт, сумевший открыть совсем рядом с нами поистине удивительный мир, по-новому (или, по крайней мере, несколько иначе) взглянув на многие, казалось бы, хорошо знакомые предметы и явления.

Создатель фрактальной геометрии Бенуа Мандельброт родился в 1924 году в Варшаве. 

В 1936 году семья Мандельбротов переехала в Париж, где Бенуа окончил Политехническую школу (1947).
Учёную степень магистра наук (по аэрокосмическим наукам) защитил в Калтехе — Калифорнийском технологическом институте в Пасадене (1948), а высшую учёную степень доктора философии (по математике) — в Парижском университете (1952).
До окончательного переезда в США (1958) Бенуа Мандельброт был приглашённым профессором в университетах Принстона, Женевы и Парижа.
С 1974 года Мандельброт состоит членом совета по научным исследованиям фирмы IBM, а с 1984 года — профессором математики Гарвардского университета. 

Помимо многочисленных статей перу Бенуа Мандельброта принадлежат три ставшие ныне классическими монографии о фракталах и их роли в математике, естественных и социальных науках: «Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность» (1955), «Фракталы: форма, случайность и размерность» (1977) и «Фрактальная геометрия природы» (1982). 

Число публикаций о фракталах, фрактальной геометрии и фрактальной физике (влиянии фрактальной структуры среды на протекающие в ней процессы и свойства фрактальных объектов) возрастает во всём мире экспоненциально. Столь большой и неослабевающий интерес объясняется не столько своеобразной модой и новизной, но и принципиально новыми возможностями, которые фрактальность открывает перед современными науками о природе и обществе. Формулу своего открытия сам Мандельброт выразил в следующих поэтических строках (1984):

«Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин кроется в её неспособности описывать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака — не сферы, горы — не конусы, береговые линии — не окружности, древесная кора не гладкая, и молния — далеко не прямая... Природа демонстрирует нам не просто более высокий, а совершенно иной уровень сложности. Число различных масштабов длины бесконечно, какую бы цель мы ни преследовали при их описании. 

Существование таких структур бросает нам вызов, ставя перед необходимостью заняться изучением тех форм, которые Евклид оставил в стороне как лишённые какой бы то ни было правильности, — исследованием морфологии аморфного. Математики уклонились от этого вызова и всё более уходили от природы, измышляя теории, не имеющие ни малейшего отношения к тому, что доступно нашему созерцанию, и нашим ощущениям».

 

Среди множества необычных объектов, построенных математиками в конце XIX — начале XX века при пересмотре оснований математики, многие оказались фракталами, то есть объектами с дробной, или фрактальной, размерностью Хаусдорфа–Безиковича. Все они очень красивы и часто носят поэтические названия: канторовская пыль, кривая Пеано, снежинка фон Коха, ковёр Серпинского и т.д. И все они обладают одним очень важным свойством, которое роднит их с самой обыкновенной прямой. Это свойство называется самоподобием: все эти фигуры подобны любому своему фрагменту.

Суть самоподобия можно пояснить на следующем примере. Представьте себе, что перед вами снимок «настоящей» геометрической прямой, «длины без ширины», как определял линию Евклид, и вы забавляетесь с приятелем, пытаясь угадать, предъявляет ли он вам исходный снимок (оригинал) или увеличенный в нужное число раз снимок любого фрагмента прямой. Как бы ни старались, вам ни за что не удастся отличить оригинал от увеличенной копии фрагмента: прямая во всех своих частях устроена одинаково, подобна самой себе, но это её замечательное свойство несколько скрадывается незамысловатой структурой самой прямой, её «прямолинейностью».

Если вы точно так же не сможете отличить снимок какого-нибудь объекта от надлежащим образом увеличенного снимка любого его фрагмента, то перед вами — самоподобный объект. Все фракталы, обладающие хотя бы какой-нибудь симметрией, самоподобны.

Самоподобие означает, что у объекта нет характерного масштаба: будь у него такой масштаб, вы сразу бы отличили увеличенную копию фрагмента от исходного снимка. Самоподобные объекты обладают бесконечно многими масштабами на все вкусы.

 

Фрактальные свойства — не блажь и не плод досужей фантазии математиков. Изучая их, мы учимся различать и предсказывать важные особенности окружающих нас предметов и явлений, которые прежде, если и не игнорировались полностью, то оценивались лишь приблизительно, качественно, на глаз.
Например, сравнивая фрактальные размерности сложных сигналов, энцефалограмм или шумов в сердце, медики могут диагностировать некоторые тяжёлые заболевания на ранней стадии, когда больному ещё можно помочь.
Барабан, натянутый на гладкий или фрактальный контур, звучит по-разному, и это различие можно использовать для диагностики характера контура и определения его фрактальной размерности.
Метеорологи научились определять по фрактальной размерности изображения на экране радара скорость восходящих потоков в облаках, что позволяет с большим упреждением выдавать морякам и лётчикам штормовые предупреждения.
Такого рода применений фракталов уже сейчас существует великое множество, и число их всё увеличивается. 

 

Эстетика фракталов

Многие фракталы обладают эстетической привлекательностью. Более того, они просто неотразимы. Во многих странах мира демонстрировалась выставка, созданная в содружестве с художниками бременскими м... (нет, не музыкантами!) математиками Рихтером и Пейтгеном. На ней экспонировалось около полутораста художественных изображений фракталов. Весь мир обошли компьютерные «лунные» пейзажи, выполненные на основе фрактальных множеств Бенуа Мандельбротом и его сотрудниками.

Звуковая палитра современных композиторов может быть значительно расширена за счёт звучания электронных инструментов с различными фрактальными характеристиками. 

Наконец, нельзя не упомянуть и об изящной словесности, ибо ей явно недостаёт свежей фрактальной струи. Какие захватывающие приключения ожидают Тезея в закоулках фрактального лабиринта, где за каждым поворотом его может поджидать роковая встреча с Минотавром! Какой длины должна была бы быть в среднем спасительная нить Ариадны, чтобы Тезей мог благополучно выбраться из лабиринта? Смог бы Том Сойер вывести Бекки Тэтчер из подземных фрактальных пещер, и сколько времени ему для этого потребовалось бы? Фракталы позволяют по-новому взглянуть и даже отчасти реабилитировать героев некоторых детских сказок, пользовавшихся репутацией отъявленных плутов и мошенников. Вспомним хотя бы сказку «Новое платье короля» Ганса Христиана Андерсена. Если бы портные сшили новое платье короля из фрактальной ткани, на изготовление которой пошло бесконечное количество шёлка, бархата и золота, то и тогда король вполне мог бы казаться голым. Произнёсший знаменитую фразу ребёнок изрёк бы очевидную истину, ложность которой стала бы ясна только при более основательном знакомстве с теорией фракталов (чего ни в коем случае нельзя предполагать и тем более требовать от невинного малютки)." 

© Ю.А. Данилов. Фрактальность. «Знание — сила», 1993, № 5
Данилов Ю. А. Прекрасный мир науки. Сборник. Сост. А. Г. Шад­тина. Под общ. ред. В. И. Са­нюка, Д. И. Тру­бец­кого. — М.: Прогресс-Тра­ди­ция, 2008. — 384 с. — ISBN 5–89826–282–2
Источник:  http://www.ega-math.narod.ru/Danilov/Danilov.htm#ch25 

Фрактальные структуры как модель эволюции по Ю.В. Чайковскому

"В математике самоподобные (масштабноинвариантные) объекты описывают фракталами. Если не гнаться за строгостью, то фрактал - это нелинейная (не описываемая никаким линейным уравнением) структура, у которой часть устроена в каком-то смысле так же, как вся структура, (Самоподобные линейные структуры - прямая и плоскость - неинтересны.) Если не считать смутную догадку в «Трактате о седмицах» […], фрактальность нашего мира, впервые отметил 300 лет назад Лейбниц: он писал образно: «…всякую часть материи можно представить наподобие сада, полного растений и пруда, полного рыб. Но каждая вещь растения, каждый член животного каждая капля его соков есть опять такой же сад или такой же пруд». […] 

Пример ломанного фрактала - береговая линия на карте: так, глядя на береговую линию норвежского или таймырского фьорда, нельзя сказать, каков масштаб карты (по другим элементам карты это сделать можно). Если выбрать маленький фрагмент береговой линии и «рассмотреть его в лупу» (т.е. на более подробной карте) то берег будет выглядеть точно так же (в форме столь же ломаной пинии) причем подобную операцию можно последовательно проводить много раз. Математически говоря, о фрактале идет речь тогда, когда операцию можно проводить бесконечное число раз. Но так может быть только в идеальной модели. В природе так не бывает. На практике всякое увеличение и уменьшение масштаба имеет предел: глядя на капилляр в микроскоп, увидишь не ещё меньшие сосуды, а стенку сосуда; и наоборот - неограниченное увеличение численности, т.е. рост фрактала-древа, на практике ограничено либо ведет клон к гибели. Если быть строгими, то надо говорить о пред-фракталах, однако мы, как и все прикладники, будем далее называть их фракталами. На практике процесс конечен, однако в теории, как всегда в математике, удобнее иметь дело с абстракцией - считать процесс уменьшения или увеличения бесконечным (таким же путем, как суммы заменяются в математике рядами и интегралами). Только тогда для фракталов можно выводить формулы и, в частности - вычислять их размерности. […]  

Много фракталов можно указать в организме: глядя на ветвящиеся бронхи в легком или на сплетение кровеносных сосудов, тоже нельзя сказать, каков масштаб рисунка: фрагмент верхнего рисунка, будучи увеличен (нижний рисунок), выглядит точно так же. Самое же главное для организма - даже не фрактальные структуры, а тот фрактальный процесс клеточных делений, каким предстаёт онтогенез. В частности, весьма вероятно, что мозг столь сложен при столь малом числе генов потому, что в генах записаны не его связи, а параметры фракталообразующих правил онтогенеза."

Чайковский Ю.В., Активный связный мир. Опыт теории эволюции жизни, М., «Товарищество научных изданий КМК», 2008 г., с. 339-342 и 344.

Источник: http://vikent.ru/enc/2844/